Teorema Chebyshev

Chebyshev, seorang matematikawan Rusia, menemukan bahwa bagian luas antara dua nilai yang simetris terhadap nilai rataan berkaitan dengan simpangan baku. Karena luas di bawah kurva distribusi peluang atau dalam histogram peluang berjumlah 1, maka luas antara dua bilangan sembarang menyatakan peluang peubah acak yang bersangkutan mendapat nilai antara kedua bilangan tersebut.

Teorema berikut dikemukakan oleh Chebyshev, memberikan taksiran yang berhati-hati (konservatif) tentang peluang bahwa setiap peubah acak X mendapat nilai dalam k simpangan baku dari nilai rataannya untuk setiap bilangan k real adalah paling sedikit.

Peluang bahwa setiap peubah acak X mendapat nilai dalam k simpangan baku dari nilai rataan adalah paling sedikit. (1 – 1/k²), yaitu;

Contoh Soal ;

Suatu peubah acak X mempunyai rataan μ = 8, variansi σ^2 = 9 , sedangkan distribusinya tidak diketahui. Hitunglah (1) P(-4 < X < 20), dan (2) P(|X - 8| ≥ 6).

1. P(-4 < X < 20 = P[8 - (4)(3) < X < 8 + (4)(3)]
                            ≥ 15/16

2. P(|X - 8 | ≥ 6 = 1 - P(|X - 8 | < 6)
                          = 1 - P(-6 < X - 8 | < 6)
                          = 1 - P[8 - (2)(3) < X < 8 + (2)(3)
                          ≤ 1/4