Distribusi Poisson

Distribusi Poisson ditemukan oleh Siemon D. Poisson. Distribusi Poisson adalah sebuah distribusi probabilitas untuk menghitung variable diskrit acak yang mempunyai nilai 0, 1, 2, 3 dan seterusnya. Ada berapa cirri-ciri distribusi poisson :

1. Banyaknya percobaan yang terjadi tidak tergantung pada banykanya percobaan yang terjadi pada daerah yang terpisah.

2. Probabilitas terjadinya hasil percobaan sebanding dengan panjang atau basarnya interval waktu atau besarnya daerah tersebut dan tidak tergantung dengan banyaknya hasil percobaan yang terjadi diluar.

Distribusi Normal

Distribusi Normal adalah suatu distribusi yang digunakan untuk menghitung probabilitas yang telah diketahui rata-rata dan standar deviasinya. Distribusi inijuga sering disebut dengan distribusi gauss. Untuk menghitung probabilitas dalam distribusi ini dapat dilakukan dengan cara melakukan transformasi nilai-nilai pengukuran kedalam bentuk bakunya. Distribusi noramal dapat digunakan untuk menghitung tinggi badan, berat badan, isi sebuah botol, dan nilai hasil ujian.

Distribusi Hipergeometrik

Distribusi Hipergeometrik adalah sebuah distribusi probabilitas diskrit dari obyek yang dipilih tanpa obyek pengambilan. Sifat distribusi hipergeometrik :

Sampel acak berukuran (n) yang diambil tanpa pengambilan dari (N)
Benda (K) dapat diberi nama sukses dan sisanya (N-K) diberi nama gagal

Distribusi Binomial

Distribusi Binomial adalah sebuah distribusi probabilitas diskrit yangsering digunakan dan sering terjadi. Distribusi ini ditemukan oleh orang berkebangsaan Swiss bernama Jacob Bernouli oleh karena itu distribusi ini dikenal juga sebagai distribusi bernouli. Adapun beberapa ciri-ciri yang dimiliki distribusi binomial :

1. Percobaan diulang sebanyak n kali
2. Hasilnya dapat dikategorikan sebagai berikut :

 ‘Berhasil’ atau ‘Gagal’
 ‘Ya’ atau ‘Tidak’
 ‘Success’ atau ‘Failed’

1. Peluang berhasil disimbolkan olah p dan peluang gagal disimbolkan olah q 

2. Banyaknya keberhasilan disimbolkan oleh x

3. Bersifat bebas (independent) satu dengan yang lainnya

Teorema Chebyshev

Chebyshev, seorang matematikawan Rusia, menemukan bahwa bagian luas antara dua nilai yang simetris terhadap nilai rataan berkaitan dengan simpangan baku. Karena luas di bawah kurva distribusi peluang atau dalam histogram peluang berjumlah 1, maka luas antara dua bilangan sembarang menyatakan peluang peubah acak yang bersangkutan mendapat nilai antara kedua bilangan tersebut.

Teorema berikut dikemukakan oleh Chebyshev, memberikan taksiran yang berhati-hati (konservatif) tentang peluang bahwa setiap peubah acak X mendapat nilai dalam k simpangan baku dari nilai rataannya untuk setiap bilangan k real adalah paling sedikit.

Peluang bahwa setiap peubah acak X mendapat nilai dalam k simpangan baku dari nilai rataan adalah paling sedikit. (1 – 1/k²), yaitu;

Contoh Soal ;

Suatu peubah acak X mempunyai rataan μ = 8, variansi σ^2 = 9 , sedangkan distribusinya tidak diketahui. Hitunglah (1) P(-4 < X < 20), dan (2) P(|X - 8| ≥ 6).

1. P(-4 < X < 20 = P[8 - (4)(3) < X < 8 + (4)(3)]
                            ≥ 15/16

2. P(|X - 8 | ≥ 6 = 1 - P(|X - 8 | < 6)
                          = 1 - P(-6 < X - 8 | < 6)
                          = 1 - P[8 - (2)(3) < X < 8 + (2)(3)
                          ≤ 1/4

Contoh Soal Teorema Bayes

Karena cukup banyak pembaca yang kurang mengerti mengenai teorema bayes, maka kali ini akan dijelaskan melalui contoh soal dengan solusi agar lebih mudah dipahami. 

Contoh Soal;

Suatu perusahaan besar menggunakan 3 hotel sebagai tempat menginap para langganannya. Dari pengalaman yang lalu diketahui bahwa 20% langganannya ditempatkan di Hotel I, 50% di Hotel B, dan 30% di Hotel S. Bila 5% kamar mandi di Hotel I tidak berfungsi dengan baik, 4% di Hotel B, dan 8% di Hotel S, berapa peluang bahwa,

a) Seorang langganan mendapat kamar yang kamar mandinya tidak baik?

b) Seseorang yang mendapat kamar mandi yang tidak baik ditempatkan di Hotel S?

A : seorang langganan mendapat kamar yang kamar mandinya tidak baik

B1 : penempatan di Hotel I

B2 : penempatan di Hotel B

B3 : penempatan di Hotel S

P(B1) = 0:2; P(B2) = 0:5; dan P(B3) = 0:3:

P(AjB1) = 0:05; P(AjB2) = 0:04; dan P(AjB3) = 0:08:

Jadi,

Teorema Bayes

Torema bayes dapat dicari menggunakan 2 cara, yaitu;

1. Rumus Teori Bayes

Jadi bisa dinyatakan P(A|B) berarti peluang kejadian A bila B terjadi dan P(B|A) peluang kejadian B bila A terjadi.

2. Diagram Pohon

Bagaimana ? cukup menarik bukan.

Peluang Bersyarat

Peluang besyarat sendiri memiliki persamaan;

Atau 

Peluang bersyarat sendiri memilik sifat-sifat yang tentu yaitu;

1. 0<P(A|B)<=1 ==> 0<=P(A n B)<=P(B);
2. Jika A<=B, maka A n B = A sehingga P(A|B)=P(A)/P(B);
3. Jika B>=A, maka A n B = B sehingga P(B|A)= 1

Sehingga : P(A n B) = P(A|B).P(B)=P(B|A).P(A)..
P(B|A) = P(A) terjadi jika statistically independen dari A.
P(A|B) = P(B) terjadi jika statistically independen dari B.
Kasus ini terjadi jika :
P(A n B)=P(A).P(B)..

MEE(Mutually Exclusive Event) = P(A n B) = 0
Depedent ==> P(A n B) = P(A).P(B|A) atau P(B).P(A|B)

Independent ==> P(A|B).P(B) = P(B|A).P(A)..

keterangan
<= : Kurang dari sama dengan.
>= : Lebih besar sama dengan.

Peluang Kejadian Majemuk

Peluang Kejadian Majemuk dibagi menjadi 3 yaitu;

1. Gabungan 2 Kejadian 

Untuk setiap kejadian A dan B berlaku;

2. Kejadian Saling Lepas 

Dua kejadian A dan B dikatakan saling lepas apabila A dan B tidak mempunyai irisan, yang berakibat. P(A∩B) = 0, sehingga.

3. Kejadian Saling Bebas

A dan B disebut dua kejadian saling bebas apabila kejadian yang satu tidak dipengaruhi kejadian lainnya, sehingga.

Frekuensi Harapan Suatu Kejadian

Frekuensi harapan adalah nilai yang menyatakan peluang suatu kejadian dikali dengan banyaknya percobaan.  Frekuensi harapan pada percobaan A dapat dicari menggunakan persamaan.

Contoh soal;

Bila sebuah dadu dilempar 30 kali, berapa frekuensi harapan dan muncul bilangan prima.

S = {1,2,3,4,5,6}, maka n(S) = 6
Misal A adalah kejadian muncul bilangan prima, maka
A =(2,3,5) berarti n(A) = 3

P(A) = n(A)/n(S) = 3/6 = 1/2

Frekuensi harapan muncul bilangan prima adalah
FH(A) = n x P(A) = 30 x 1/2 = 15 kali

Cukup mudah bukan ?

Peluang Komplemen Suatu Kejadian

Peluang Putra mendapatkan nilai E pada mata kuliah probstat adalah 0,56. Maka peluang Putra mendapatkan nilai bukan E adalah ? 

Temen-temen masih ada yang bingung dengan soal diatas ? tenang, pake peluang komplemen suatu kejadian jadi solusinya.

Misalkan A^c adalah komplemen kejadian A, maka;

Masih kurang paham ? kita kasih contoh soal yaa. 

Contoh soal ; 

Peluang Putra mendapatkan nilai E pada mata kuliah probstat adalah 0,56. Maka peluang Putra mendapatkan nilai bukan E adalah ? 

P(A^c) = 1 - P(A) = 1 - 0.56 = 0,44 

Peluang Kejadian

Pada percobaan sebuah dadu, tentukanlah peluang kejadian muncul bilangan prima ? 

Hayo bingung ? kalo bingung, solusi yang tepat adalah memakai persamaan peluang kejadian. Peluang kejadian A ditulis P(A). Persamaan peluang kejadian A adalah. 

Keterangan ;

n(S) = banyaknya anggota semesta 

n(A) = banyaknya anggota A

P(A) = pelang kejadian A

Contoh soal :

Pada percobaan sebuah dadu, tentukan peluang kejadian muncul bilangan prima!

S = {1,2,3,4,5,6,}, maka n(S) = 6

Misal A adalah kejadian muncul bilangan prima maka 

A ={2,3,5} berarti n(A) = 3

P(A) = n(A)/n(S) = 3/6 = 1/2 

Menarik bukan mempelajari peluang kejadian...

Permutasi dan Kombinasi

Bagaimana cara mengetahui ada berapa cara untuk 3 orang yang berbeda dalam formasi ketua, wakil dan bendahara ? Bagaimana cara mengetahui ada berapa cara agar seseorang memakai 3 baju dengan warna yang berbeda ? Bingung ? pakai permutasi dan kombinasi jawabannya. Sabar, sebentar lagi akan dijelaskan dengan mudah agar dapat dimengerti. 

1. Permutasi

Permutasi adalah pengabungan beberapa objek dari suatu grup dengan memperhatikan urutan. Permutasi sendiri urutan harus diperhatikan seperti contoh {A,B,C} beda dengan {B,A,C} dan {C,B,A}.

Permutasi memiliki persamaaan;

Keterangan;

r = ditanya
n= total percobaan.

2. Kombinasi

Kombinasi adalah penggabungan beberapa objek dari suatu grup tanpa memperhatikan urutannya.

Mempelajari Permutasi dan Kombinasi cukup menyenangkan bukan ? 

Variabel Acak

Variabel Acak atau random adalah jika suatu fungsi X memetakan sampel t ke himpunan bilangan real
atau X(t)=R. Fungsi R ini disebut dengan Variabel Random..

Apabila R merupakan himpunan diskrit yaitu himpunan yang elemen-elemennya berhingga atau tak berhinggatapi dapat dikorespondensikan satu-satu dengan himpunan bilangan bulat, maka X dinamakan variabel random diskrit. 

Apabila R berupa interval atau gabungan dari beberapa interval maka X dinamakan variabel random kontinu.

Ruang Sampel dan Kejadian

Ruang sampel adalah semua outcome yang mungkin dari suatu random eksperimen.

Dari sample space ini juga terdapat event (Kejadian) . Apakah yang dimaksud dengan event? Event adalah himpunan bagian dari ruang sample. nahh event sendiri dibagi menjadi 4 bagian yaitu

1. Simple Event (Peristiwa dimana yang hanya memiliki titik sampel)

2. Compund Event

3. Certaint Event ( Peluangnya 1 )

4. Impossible Event (Peluangnya 0)

Sekarang kita membahas Sample Space (Ruang Sampel) dari ruang sampel ini dapat di bagi menjadi 2 yaitu
1. Finite Space : S={1,2,3,4,}, S = {wajik,hati}.
2. Infinite Space : S = {1,2,3,......}.

Space dikatakan diskrit apabila korespodensinya 1,1
Space dikatakan kontinue apabila titik sampelnya memilik interval dan tidak dapat dihitung

Peluang

Contoh Soal Boxplot

Karena banyak pembaca yang kurang mengerti mengenai boxplot, maka pada kali ini akan dibahas boxplot dengan soal dan pembahasan, mari disimak.

Diketahui skor nilai kalkulus mahasiswa IT Telkom adalah sebagai berikut.

50, 60, 73, 77, 80, 81, 82, 83, 84, 84, 84, 85, 88, 95, 100

Karena nilai tersebut sudah diurutkan , maka kita dapat langsung mencari Q1, Q2, dan Q3

Setelah itu baru kita menggambar boxplot dari data yang telah didapatkan.

Setelah itu kita mencar pagar dalam dan pagar luar 

PD = 77 - 1.5*8 = 77 - 12 = 65 

         85 + 1.5*8 = 85 + 12 = 97

PL = 77 - 3*8 = 77 - 24 = 53

         85 + 3*8 = 85 + 24 = 109 

Setelah mencari nilai pagar dalam dan pagar luar, baru kita menambahkannya ke gambar boxplot yang sebelumnya telah digambar. 

Sekarang kita mencari whisker, yaitu data yang nilainya lebih beasr adri pagar dalam sebelah kiri dan data yang nilainya lebih kecil dari pagar dalam sebelah kanan. 

Setelah itu baru kita mencari pencilan, yaitu data yang nilainya diantara pagar dalam dan pagar luar. 

Dan, boxplot pun selesai, biasanya garis pagar dalam dan pagar luar boleh dihapus agar lebih rapi dalam pengerjaannya. Cukup mudah bukan ?  

Boxplot

Boxplot adalah sebuah representasi grafis dari tes kualitas yang menunjukkan proses distribusi variabilitas didasarkan pada rata-rata, atas dan bawah batas spesifikasi dalam bentuk kotak.Untuk membuat boxplot ada langkah-langkahnya yaitu menentukan ;

1. Median 

2. Kuartil 1

3. Kuartil 3

4. N maksimum

5. N minimum 

Setelah itu kita menentukan Jangkauan atau JAK menggunakan persamaan;

Setelah itu baru dicari pagar dalam dan pagar luar yang masing-masing ada dua bagian menggunakan persamaan. 

Setelah itu barulah kita bisa menggambar boxplot pada bidang kartesius 

Bagaimana ? sudah cukup mengerti kan ? Belum ? tenang, setelah ini akan dijelaskan mengenai boxplot dengan contoh soal, agar lebih mengerti lagi. 

Simpangan Baku/Standar Deviasi

Simpangan Baku/Standar Deviasi dapat dicari menggunakan persamaan.

Variansi/Ragam

Ragam/Variansi (R) dapat dicari menggunakan persamaan.

Jangkauan

Jangkauan atau range adalah selisih nilai maksiimum dengan nilai minimum.

Jangkauan dibagi menjadi 3 yaitu ;

1. Jangkauan (J)

2. Jangkauan Antar Kuartil (H)

3. Jangkauan Semi Kuartil (Qd)

Kuartil

     Apabila sekumpulan data dibagi menjadi empat bagian yang sama banyak, setelah disusun menurut urutan nilainya, maka bilangan pembaginya disebut dengan kuartil.  Untuk nilai k2 sama dengan median karena membagi data menjadi 2 bagianSimbol kuartil adalah K.  Ada tiga buah kuartil, yaitu K1, K2, dan K3.  Pemberian nama dimulai dari nilai kuartil yang paling kecil.  Untuk menentukan nilai kuartil, caranya adalah sebagai berikut.

1. Susun data menurut urutan nilainya, dari terkecil ke terbesar

2. Tentukan letak kuartil

3. Tentukan nilai kuartil

Kuartil dapat dicari menggunakan persamaan. 

Keterangan :

Qi= letak kuartil ke-i

N = banyaknya data 

Modus

Modus adalah data yang paling sering muncul, atau data yang mempunyai frekuensi paling besar. Apabila semua data memiliki frekuensi yang sama, maka data tersebut tidak memiliki modus. 

Ada dua jenis modus, yaitu modus data tunggal dan modus data kelompok :

1. Modus Data Tunggal 

Untuk mencari modus pada data tunggal dapat dilakukan dengan cepat dan mudah, yaitu dengan mencari data dengan frekuensi paling besar atau paling sering muncul. 

2. Modus Data Kelompok 

Keterangan : 

tb  = tepi bawah kelas modus

d1 = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya 

d2 = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas setelahnya 

c   = panjang kelas 

Median

Median adalah nilai tengah dari data yang telah diurutkan. Dapat dikatakan median adalah nilai atau angka dimana diatas nilai tersebut terdapat 1/2N dan dibawah nilai tersebut juga terdapat 1/2N.

Ada dua cara menentukan median :

Contoh soal :

Tinggi badan 5 mahasiswa adalah 155, 162, 170, 167, 165. Tentukan median!

Langkah pertama menyelesaikan soal diatas adalah mengurutkan data dari yang terkecil atau sebaliknya, jika diurutkan akan menjadi :  155, 162, 165, 167, 170

Setelah diurutkan kita menggunakan persamaan jika jumlahnya ganjil, karena jumlah data 5, maka menjadi

Karena hasilnya 3, berarti median ada di data ke 3, yaitu 165, 

Mean

 Mean adalah nilai rata-rata dari beberapa buah data. Mean dapat cari dengan membagi jumlah data dengan banyaknya data. Mean (rata-rata) merupakan suatu ukuran pemusatan data. Mean suatu data juga merupakan statistik karena mampu menggambarkan bahwa data tersebut berada pada kisaran mean data tersebut. 

Persamaan mean dapat ditulis sebagai berikut ;  

A. Mean Data Tunggal

Keterangan :
x = data ke n
x bar = x rata-rata = nilai rata-rata sampel
n = banyaknya data

B. Mean Data Kelompok

Keterangan : fi.xi = frekuensi untuk nilai xi yang bersesuaian
xi = data ke-i

C. Mean Data Gabungan

Contoh Soal :

Hitung Mean dari data tersebut!

Solusi dari soal diatas adalah menggunakan persamaan ketiga, dimana data tersebut termasuk data kelompok. Caranya dengan mengalikan frekuensi dengan nilai tengah dari kelasnya.

5(53) + 3(58) + 6(63) + 4(68) + 2(73) / 20 =  52.3

Cukup mudah bukan ?

Statistika

Statistika secara definisi adalah Ilmu Pengetahuan yang memperajari tentang mengelolaan data dan informasi serta pengambilan keputusan nya. Jadi statistika itu berkaitan dengan data dan informasi serta data numerik.

Dalam materi statistika akan dijelaskan per sub bab dengan penjelasan serta contoh soal dengan solusi agar memudahkan mahasiswa dalam menyelesaikan tugas probabilitas dan statistika.

 

Intro

Halo, saya prafajar. Di blog ini ada materi serta penjelasan serta contoh soal tentang probabilitas dan statistika. Mudah-mudahan dengan adanya blog ini, dapat membantu teman-teman dalam menyelesaikan persoalan khususnya dalam probabilitas dan statistika. Enjoy reading :)